Хавфи муфлисшавӣ
Эҳтимолияти бохтани тамоми сармояи бозӣ пеш аз расидан ба ҳадаф.
Барои гаровҳои баробарпардохт хавфи муфлисшавӣ аз формулаи муфлисшавии бозингар пайравӣ мекунад. Бо сармояи бозии $500, гаровҳои $10 ва ҳадафи $600 шумо тақрибан дар 57% ҳолатҳо ба ҳадаф мерасед ва дар боқимонда ҳамаашро мебозед.
Савол
Шумо a воҳидпулВоҳидГарови асосие, ки система ё бозингар бо он кор мекунад. Прогрессияҳо бо воҳидҳо тавсиф мешаванд, то дар ҳар миз татбиқ шаванд.Пурра хондан → сармояи бозӣпулСармояи бозӣМаблағи умумие, ки барои бозӣ ҷудо шудааст. Идоракунии сармояи бозӣ ин қарор додан аст, ки чӣ қадари онро дар як гаров ва дар як сессия ба хатар гузоред.Пурра хондан → доред ва мехоҳед ба a + b воҳид расед, ҳар дафъа як воҳид ба гарови баробарпардохтгаровГарови баробарпардохтСурх/сиёҳ, тоқ/ҷуфт, калон/хурд. 18 рақам, 1:1 пардохт мекунад.Пурра хондан → бо эҳтимолиятиматематикаЭҳтимолиятИмконияти натиҷа, аз 0 то 1 ё аз 0% то 100%. Як рақам: 1/37 = 2,70%.Пурра хондан → бурди p = 18/37 ва эҳтимолияти бохти q = 19/37 гузошта. Имкони он ки шумо пеш аз расидан ба сифр ба ҳадаф расед, чӣ қадар аст? Ҷавобро Паскал, Ферма ва Гюйгенс дар солҳои 1650 ҳал карданд, ва он яке аз қадимтарин натиҷаҳо дар назарияи эҳтимолият аст.
Формулаи муфлисшавии бозингар
P(расидан ба ҳадаф) = (1 − (q/p)ᵃ) / (1 − (q/p)ᵃ⁺ᵇ). Хавфи муфлисшавӣматематикаХавфи муфлисшавӣЭҳтимолияти аз даст додани тамоми сармояи бозӣ пеш аз расидан ба ҳадаф ё шумораи гардишҳо.Пурра хондан → як минуси ин аст. Бо q/p = 19/18 ≈ 1,0556 нисбат вобаста ба шумораи воҳидҳо ба таври экспоненсиалӣ меафзояд, бинобар ин формула воҳидҳои хурдро сахт ҷазо медиҳад: ҳар қадар барои расидан ба ҳадаф гаровҳои бештар лозим бошад, ҳамон қадар бештар дар роҳ боҷи 2,70% пардохт мешавад.
Хондани он
Воҳидҳои хурдтар зарар доранд. Кӯшиши дучанд кардани $500 бо гаровҳои $10 дар 6% ҳолатҳо муваффақ мешавад; бо як гарови $500 дар 48,6% ҳолатҳо. Бозии ҷасурона, гаровҳои камтар ва калонтар, имкони расидан ба ҳадафро дар бозии интизории манфӣ ба ҳадди аксар мерасонад, зеро шумораи дафъаҳои татбиқи бартариро ба ҳадди ақал мерасонад. Он ҳамчунин дисперсияиматематикаДисперсияЧенаки он ки натиҷаҳо дар атрофи арзиши интизорӣ то чӣ андоза пароканда мешаванд. Барои рақами ягона баланд, барои гаровҳои баробарпардохт паст.Пурра хондан → он чиро, ки бо шумо рух медиҳад, ба ҳадди аксар мерасонад ва бегоҳро зуд тамом мекунад. Теорема «бозии ҷасурона беҳтарин аст» ном дорад ва онро Дубинс ва Сэвиҷ соли 1965 исбот карданд.
Масъала аз куҷо оғоз ёфт
Ин савол аз рулетка қадимтар аст. Соли 1656 Паскал ба Ферма муаммое пешниҳод кард: ду бозингар се зар мепартоянд, ҳар кадом бо 12 донача оғоз мекунад; партофти 11 як доначаро ба як тараф, партофти 14 ба тарафи дигар мегузаронад. Ҳарду онро ҳал карданд, ва Гюйгенс, ки дар ин бора аз мактуби риёзидон Пйер де Каркави хабар ёфт, онро соли 1657 ҳамчун масъалаи панҷуми аввалин китоб дар бораи эҳтимолият, бо ҷавоб ва бе исбот, чоп кард. Ёздаҳро бо 27 роҳ ва чордаҳро танҳо бо 15 роҳ партофтан мумкин аст, бинобар ин ҳар донача 9 бор аз 14 ба тарафи бозингари аввал ҳаракат мекунад, ва формулаи боло, бо 12 доначаи ҳар кас, ӯро тақрибан 1 157 маротиба бештар ба бурдани ҳама чиз нисбат ба бохтани ҳама чиз имконпазир мегардонад. Бартарии 2,70% хеле хурдтар аст, вале ҳамон формула нишон медиҳад, ки он дар гаровҳои бисёр чӣ мекунад.
Гарови ҷасуронаи воқеӣ
Дар апрели 2004 Эшли Ревелл, ҷавони англис, қариб ҳама чизи доштаашро, аз ҷумла либосҳояшро, фурӯхт ва $135 300-ро ба Plaza дар Лас-Вегас бурд. Пас аз чанд гарови хурд ӯ тамоми маблағро як бор ба сурхгаровСурхГарови баробарпардохт ба 18 рақами сурх. Бо фаронсавӣ: rouge.Пурра хондан → гузошт. ТӯбтаҷҳизотТӯбТӯбчаи хурде, ки бар хилофи ротор ба роҳ партофта мешавад. Тӯбҳои муосир аз айворин ё тефлон, 18–21 мм мебошанд.Пурра хондан → ба сурхи 7 афтод ва ӯ бо $270 600 баромад. Дар чархи дусифрачархСифрЯгона хонаи сабз, ки ҳеҷ гарови баробарпардохт, дувоздаҳӣ ё сутун онро фаро намегирад; манбаи бартарии казино. Инчунин: сифри ягона, 0.Пурра хондан → он гардиши ягона имкони 47,37% буд ва ба ӯ ба ҳисоби миёна $7 121 арзиш дошт, бартарии 5,26% дар як гаров. Агар ба гаровҳои $10 тақсим мешуд, ҳамон ҳадаф қариб ноумедкунанда мебуд. Бозии ҷасурона гаровро хуб намекунад; онро то ҳадди имкон кӯтоҳ мекунад.
Хавфи муфлисшавӣ бе ҳадаф
Агар шумо танҳо то муфлис шудан бозӣ кунед ё пас аз N гардиш бас кунед, савол чунин мешавад: «эҳтимолияти он ки сармояи бозии ман дар давоми N гардиш ба сифр расад, чӣ қадар аст?». Барои N-и умумӣ формулаи пӯшида нест, вале симуляторҳои ин сайт онро ҳисоб мекунанд: сармояи $500 бо $10 ба сурх дар 100 гардиш қариб ҳеҷ гоҳ муфлис намешавад (камтар аз 1%), дар 500 гардиш тақрибан дар 9% ҳолатҳо ва дар 5 000 гардиш тақрибан дар 95% ҳолатҳо муфлис мешавад. Бе қоидаи бас кардан эҳтимолият ба 100% майл мекунад, ки ин шакли масофаи дарози бартарии казиноматематикаБартарии казиноҲиссаи ҳар гаров, ки казино ба ҳисоби миёна нигоҳ медорад: дар рулеткаи аврупоӣ 2,70%.Пурра хондан → аст.
- p10 −$500
- p25 −$500
- медиана −$500
- p75 +$0
- p90 +$350
Наздикшавӣ дар масофаи дароз: қонуни ададҳои калон дар рулетка
Чӣ қадар дароз ва чӣ қадар пеш
Ду натиҷаи классикии дигар ба саволҳое ҷавоб медиҳанд, ки бозингарон воқеан медиҳанд. Бе ҳадаф гаровҳои доимии баробарпардохт дар чархи аврупоӣ ба ҳисоби миёна барои ҳар воҳиди сармояи бозӣ 37 гардиш ва дар чархи амрикоӣ 19 гардиш давом мекунанд, зеро ҳар гардиш ба ҳисоби миёна 1/37 воҳид мегирад (дар чархи амрикоӣ 1/19): 100 воҳид ба ҳисоби миёна 3 700 гардиш давом мекунад, гарчанде ки нисфи чунин сессияҳо дар давоми 3 134 гардиш тамом мешаванд (ниг. «Давомнокӣ ва арзиши сессия»). Ва новобаста аз калонии сармояи бозӣ, имкони он ки дар чархи аврупоӣ ягон вақт k воҳид пеш бошед, (18/19)ᵏ аст. Ин барои як воҳид 95% ва барои даҳ 58% аст, вале ҳеҷ сармояи бозӣ, ҳар қадар калон бошад, имкони баробари ягон вақт 13 воҳид пеш будан намедиҳад; дар чархи амрикоӣ имконият (9/10)ᵏ аст ва дар 7 воҳид аз нисф поён мефарояд.
Сармояи бозӣ барои имкони панҷоҳ ба панҷоҳ
Саволро баръакс кунед: барои доштани ақаллан имкони панҷоҳ ба панҷоҳи бурдани маблағи муайян пеш аз бохтани ҳама чиз, чӣ қадар бояд биёред? Барои бурди хурд, на он қадар зиёд. Барои бурди калонтар сармояи лозимӣ якбора боло меравад, ва аз як нуқта ҳеҷ сармояи бозӣ кофӣ нест, зеро ҳатто сармояи беохир камтар аз имкони панҷоҳ ба панҷоҳи ягон вақт он қадар пеш шуданро медиҳад. Тейлор (2021) инро бо тарзи дигар мегӯяд: дар чархи амрикоӣ, барои доштани имкони панҷоҳ ба панҷоҳи расидан ба 100 воҳид, шумо бояд бо 94 оғоз кунед, 94-ро барои бурдани 6 хавф карда. Дар чархи аврупоӣ ба шумо 88 лозим мешуд.
Дарси амалӣ
Муайян кунед, ки чӣ кор кардан мехоҳед. Агар ҳадаф бурди муайян бошад, калон ва кам гаров гузоред. Агар ҳадаф бегоҳи дароз бошад, хурд гаров гузоред ва қабул кунед, ки бартарӣ 2,70%-и худро аз ҳаҷми гаровҳоипулҲаҷми гаровҳоМаблағи умумии гаровҳо дар як сессия ё давра, бо ҳисоби бурдҳои дубора гузошташуда. Инчунин: handle, action.Пурра хондан → калон мегирад. Агар ҳадаф ҳарду бошад, чизе бояд гузашт кунад, ва одатан ин ҳадаф аст.
Формула
Саволҳо
МартингейлстратегияМартингейлПрогрессия, ки пас аз ҳар бохт гаровро дучанд мекунад. Дар бахши «Стратегия» бинед, ки он чӣ мекунад ва чӣ намекунад.Пурра хондан → онро барои сессияҳои кӯтоҳ паст мекунад ва барои сессияҳои дароз хеле баланд мекунад. Гарови доимӣстратегияГарови доимӣДар ҳар гардиш гузоштани ҳамон маблағ. Меъёре, ки ҳар прогрессия бо он муқоиса мешавад.Пурра хондан → бо воҳиди калонтар роҳи ростқавлонаи паст кардани он аст.
Формулаи боло барои баробарпардохт аст. Барои гаровҳои дисперсияи баланд муфлисшавӣ бо гаровҳои хурд эҳтимолтар аст ва ҳадаф бо ҷаҳишҳо ба даст меояд; аз ҳисобкунак истифода баред.
Ҳар қадам ба сӯи ҳадаф каме камэҳтимолтар аз ҳар қадам ба сӯи муфлисшавӣ аст; нисбат дар шумораи қадамҳо ҷамъ шуда меафзояд.
Математикаи шавқовар
Аввал худатон кӯшиш кунед. Ҳар ҳал пӯшида аст; вақте ки тайёр бошед, онро кушоед.
Шумо $100 доред ва $1 000 мехоҳед, танҳо ба сурхгаровСурхГарови баробарпардохт ба 18 рақами сурх. Бо фаронсавӣ: rouge.Пурра хондан → гаров гузошта. Нақшаи якум: ҳар бор $1 гузоред. Нақшаи дуюм: ҳамаи пулатонро гузоред, то аз $500 гузаред, сипас танҳо он қадар, ки ба $1 000 расед. Кадом нақша беҳтар аст ва чӣ қадар?
Ҳалро нишон додан
Ҷавоб Нақшаи дуюм, бо фарқи калон. Он тақрибан дар 9,0% ҳолатҳо ба $1 000 мерасад, наздик ба 10%-и одилона. Нақшаи якум тақрибан 7 бор дар 10²² муваффақ мешавад.
Дар бозии одилонаматематикаБозии одилонаБозие, ки дар он ҳеҷ тараф бартарӣ надорад: арзиши интизории ҳар гаров сифр аст.Пурра хондан → шумо аз $100 ба $1 000, новобаста аз он ки чӣ мекардед, як бор аз даҳ мерасидед, зеро арзиши миёнаи пулатон дар $100 мемонад.
Бартарӣ 2,70%-и ҳар гаровро мегирад, пас ҳар қадар дар маҷмӯъ камтар гузоред, ҳамон қадар ба як аз даҳ наздиктар мемонед. Нақшаи дуюм масъаларо дар чанд гаров ҳал мекунад: $100 ба $200, $400, $800 табдил меёбад, ва сипас $200 кифоя аст. Он тақрибан дар 9,0% ҳолатҳо муваффақ мешавад. Нақшаи якум то анҷоми роҳ ҳазорҳо гаров мегирад, ва бартарӣ, ки дар ҳар яки онҳо хурд аст, ба муфлисшавии қариб ҳатмӣ ҷамъ мешавад.
Ин натиҷаи Дубинс–Сэвидж дар соддатарин шакли он аст (Эпштейн, 2013): дар бозие, ки ба нафъи казино аст, он қадар гузоред, ки лозим аст, ва ҳар қадар камтар бор.
Шумо $500 доред ва $1 000 мехоҳед, ва ҳамин ки ба он расед, бас мекунед. Шумо як навъи гаровро интихоб мекунед ва онро то он даме такрор мекунед, ки як бор бурд кунад ё пул тамом шавад. Кадом навъ беҳтарин имкониятро медиҳад?
Ҳалро нишон додан
Ҷавоб Як гарови $500 ба сурх: 48,6%. Ҳар нақшае, ки пулро ба гаровҳои хурдтар тақсим мекунад, бадтар аст.
Ҳар гаровро чунон интихоб кунед, ки як бурд кифоя бошад: $30 ба рақами ягонагаровРақами ягонаЯк рақами алоҳида, 35:1 пардохт мекунад.Пурра хондан → $1 050 мебарад, $60 ба ду рақамгаровДу рақамДу рақами ҳамсоя, 17:1 пардохт мекунад.Пурра хондан → $1 020, ва ғайра. Сипас эҳтимолиятеро ҳисоб кунед, ки ақаллан як гаров пеш аз тамом шудани пул бурд кунад. Шонздаҳ гарови $30 ба рақами ягона бо эҳтимолияти (36/37)¹⁶ = 64,5% ҳама намебаранд, пас онҳо дар 35,5% ҳолатҳо ба $1 000 мерасанд.
Ҷадвал ҳар гаровро нишон медиҳад. Сурх беҳтар аст, зеро бо як гаров мерасад, пас бартарӣ як бор, аз $500, пардохт мешавад. Шаш рақамгаровШаш рақамШаш рақам дар ду қатори ҳамсоя, 5:1 пардохт мекунад. Бо фаронсавӣ: sixain.Пурра хондан → дуюм аст, зеро танҳо се гаров лозим дорад. Як гарови дувоздаҳӣгаровДувоздаҳӣ1–12, 13–24 ё 25–36, 2:1 пардохт мекунад.Пурра хондан → бадтарин аст, имконияти 12/37; ҳатто агар бо воҳидҳоипулВоҳидГарови асосие, ки система ё бозингар бо он кор мекунад. Прогрессияҳо бо воҳидҳо тавсиф мешаванд, то дар ҳар миз татбиқ шаванд.Пурра хондан → $250 то $1 000 ё бештар бозӣ шавад, дувоздаҳӣ танҳо дар 46,4% ҳолатҳо мерасад.
Боллман (2024) ҳамин ҷадвалро барои чархи амрикоӣ месозад. Сатри дувоздаҳии ӯ хато дорад: он бояд 12/38 = 31,6% бошад.
гаровгаров × шумораи гаровҳоэҳтимолияти расидан ба $1 000Рақами ягона$30 × 1635,5%Ду рақам$60 × 835,9%Қатор$90 × 534,5%Кунҷ$125 × 436,7%Шаш рақам$166, $166, $16841,2%Дувоздаҳӣ$500 × 132,4%Сурх$500 × 148,6%Шумо гардиш ба гардиш як воҳид ба сурх мегузоред, бо сармояи бозиепулСармояи бозӣМаблағи умумие, ки барои бозӣ ҷудо шудааст. Идоракунии сармояи бозӣ ин қарор додан аст, ки чӣ қадари онро дар як гаров ва дар як сессия ба хатар гузоред.Пурра хондан →, ки ҳеҷ гоҳ тамом намешавад. Пас аз гардиши аввал шумо як воҳид дар бурд ё як воҳид дар бохт ҳастед. Эҳтимолияти он ки шумо боз ягон вақт комилан баробар мешавед, чанд аст?
Ҳалро нишон додан
Ҷавоб 36 дар 37, 97,3%. Дар чархи амрикоӣ 36 дар 38, 94,7%.
Агар гардиши аввал бурд кунад (18 бор дар 37), шумо як воҳид дар бурд ҳастед, ва бартарӣ ҳар сессияи беохирро ба поён мекашад, пас дер ё зуд шумо аз нуқтаи баробар мегузаред: ин ҳатмист. Агар бохт кунад (19 бор дар 37), шумо бояд як воҳид боло равед, ва эҳтимолияти ягон вақт як воҳид пеш будан 18/19 аст (ҷадвали болоро бинед).
Якҷоя: 18/37 + 19/37 × 18/19 = 18/37 + 18/37 = 36/37.
Умуман эҳтимолият 1 тарҳи фарқи байни эҳтимолиятҳои бурд ва бохти як гардиш аст: 1 − 1/37 дар чархи аврупоӣ, 1 − 2/38 дар чархи амрикоӣ. Дар бозии бе сифрчархСифрЯгона хонаи сабз, ки ҳеҷ гарови баробарпардохт, дувоздаҳӣ ё сутун онро фаро намегирад; манбаи бартарии казино. Инчунин: сифри ягона, 0.Пурра хондан → фарқ нест ва эҳтимолият 1 аст: ҳисоб ҳамеша ба баробарӣ бармегардад. Эпштейн (2013) қоидаи умумиро медиҳад.
Муаммои Паскал аз соли 1656: ду бозингар се соққа мепартоянд, ҳар кадом бо 12 донача оғоз мекунад. Ҳар 11 як доначаро ба бозингари аввал мегузаронад, ҳар 14 якеро ба дуюм; партофтанҳои дигар ҳисоб намешаванд. Эҳтимолияти он ки бозингари аввал ҳамаи 24-ро барад, чанд аст? Ва агар шумо ба ҷои ин дар ҳар гардиш 1 воҳид ба сурх бар зидди дӯсте гузоред, ки нақши банкро иҷро мекунад, ҳар кадом бо 12 воҳид, эҳтимолияти бурдани ҳамаи 24 чанд аст?
Ҳалро нишон додан
Ҷавоб Бозингари аввал тақрибан 1 157 бор дар 1 158 мебарад. Шумо, бо гаров ба сурх, ҳамаи 24 воҳидро танҳо тақрибан дар 34% ҳолатҳо мебаред.
Се соққа 11-ро бо 27 роҳ ва 14-ро бо 15 роҳ медиҳанд, пас ҳар доначае, ки ҳаракат мекунад, 27 бор дар 42, яъне 9 бор дар 14, ба бозингари аввал меравад. Вақте ки ҳар тараф бо 12 оғоз мекунад, эҳтимолияти гирифтани ҳама 1/(1 + r¹²) аст, ки дар он r нисбати эҳтимолияти тарафи дигар ба эҳтимолияти шумост.
Барои бозингари аввал r = 5/9, ва (5/9)¹² ≈ 0,00086, пас эҳтимолият тақрибан 0,99914 аст: коэффитсиенти 9¹² ба 5¹², ё 282 429 536 481 ба 244 140 625, тақрибан 1 157 ба 1. Ҳюйгенс маҳз ҳамин рақамҳоро соли 1657 чоп кард.
Дар сурх, бо сабаби сифр r = 19/18, ва (19/18)¹² ≈ 1,913: эҳтимолияти шумо 1/2,913 ≈ 34,3% аст. Танга 50% медод. Бартарии 2,70% дар ҳар гаров дар давоми гаровҳои зиёде, ки лозим мешаванд, ба фарқи 16 банди фоизӣ ҷамъ мешавад.
Лаҳзаи ҳазл
Бозии ҷасурона беҳтарин аст. Он ҳамчунин зуд тамом мешавад.
Манбаъҳо
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.
- Carcavi, P. de. Letter to Huygens, 28 September 1656, on the problem Pascal posed to Fermat.
- Huygens, C. De Ratiociniis in Ludo Aleae.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Reuters. “Briton bets it all on roulette spin, and wins.”
- Las Vegas Sun. “Man wagers life’s worth.”