Масъала: ҳадди миз
Мартингейли $10 дар мизи $500. Он чӣ қадар зуд мешиканад, ҳангоми шикастан чӣ қадар мебозад ва оё баланд кардани ҳад ёрӣ медиҳад?
Шаш бохти пайдарпай онро мешиканад: 1,8% дар як давра, тақрибан 60%-и сессияҳои 100-гардишӣ. Шикаст $630 арзиш дорад. Баланд кардани ҳад то $5 000 шикастро нодиртар (0,25% дар як давра) ва калонтар ($5 110) мекунад. Зарари интизорӣ ба ҳар доллари гаров дар ҳар ҳад 2,70% аст.
Масъала
Бозингар $10 ба сурхгаровСурхГарови баробарпардохт ба 18 рақами сурх. Бо фаронсавӣ: rouge.Пурра хондан → мегузорад ва пас аз ҳар бохт гаровро ду баробар мекунад, пас аз бурд аз нав оғоз мекунад. Ҳадди аксари миз $500 аст. (a) Чанд бохти пайдарпай прогрессиястратегияПрогрессияҲар қоидае, ки гаровро дар асоси натиҷаҳои қаблӣ тағйир медиҳад. Прогрессияҳои манфӣ онро пас аз бохт, мусбат пас аз бурд баланд мекунанд.Пурра хондан →-ро мешиканад? (b) ЭҳтимолиятматематикаЭҳтимолиятИмконияти натиҷа, аз 0 то 1 ё аз 0% то 100%. Як рақам: 1/37 = 2,70%.Пурра хондан → дар як давра чӣ қадар аст? (c) Ҳангоми шикаст чӣ қадар бой дода мешавад? (d) Ҳадди $5 000 ҷавобҳоро чӣ тавр тағйир медиҳад? (e) Оё ягон ҳад системаро фоидаовар мекунад?
Ҳалҳо (a)–(c)
Гаровҳо: 10, 20, 40, 80, 160, 320. Ҳафтумӣ 640 > 500 мебуд, бинобар ин шаш бохт онро мешиканад. (b) p(бохт) = 19/37 дар сурх; (19/37)⁶ = 0,0183, тақрибан 1,8% дар як давра. Давра ба ҳисоби миёна тақрибан ду гардиш давом мекунад, бинобар ин сессияи 100-гардишӣ тахминан 50 давра дорад ва p(ақаллан як шикаст) ≈ 1 − 0,9817⁵⁰ ≈ 60%. (c) 10 + 20 + 40 + 80 + 160 + 320 = $630, ки 63 воҳидипулВоҳидГарови асосие, ки система ё бозингар бо он кор мекунад. Прогрессияҳо бо воҳидҳо тавсиф мешаванд, то дар ҳар миз татбиқ шаванд.Пурра хондан → асосӣ аст, дар муқобили $10, ки давра мекӯшид бибарад.
Ҳал (d)
Бо $5 000: гаровҳо то 2 560 иҷозат дода мешаванд; гарови даҳум, 5 120, рад карда мешавад. Нӯҳ бохт онро мешиканад: (19/37)⁹ ≈ 0,25% дар як давра, тақрибан 11%-и сессияҳои 100-гардишӣ. Зарар ҳангоми шикаст: 10 + 20 + … + 2 560 = $5 110. Бозингар фалокати нодиртарро бо нархи фалокати калонтар харидааст. Дар бисёр сессияҳо арзиши интизории шикастҳо p × зарар ≈ 0,0183 × 630 = $11,5 дар як давра бо ҳадди $500 ва 0,0025 × 5 110 = $12,8 бо $5 000 аст; ин, бо дақиқии яклухткунӣ, ҳамон рақам аст ва он зарари интизорииматематикаЗарари интизорӣАрзиши интизорӣ зарб дар маблағи умумии гаровҳо; маблағи миёнае, ки дар як сессия ё давра бохта мешавад.Пурра хондан → давра ва $10-и даромади давраҳои бурдкарда аст.
Ҳал (e)
Не. Зарари интизорӣ дар як давра = (гарови умумии интизорӣ дар давра) / 37, дар ҳар ҳад, зеро ҳар гаров −1/37-и худ аст. Ҳад танҳо муайян мекунад, ки зарар байни бисёр бурдҳои хурд ва чанд бохти калон чӣ тавр тақсим мешавад. Бе ҳад ва бо сармояи бозиипулСармояи бозӣМаблағи умумие, ки барои бозӣ ҷудо шудааст. Идоракунии сармояи бозӣ ин қарор додан аст, ки чӣ қадари онро дар як гаров ва дар як сессия ба хатар гузоред.Пурра хондан → беохир прогрессия «кор мекард», ба маънои он ки ҳеҷ гоҳ намешикаст, ва инчунин маблағи беҳадро бо зарари интизории 2,70%-и ҳамон маблағи беҳад гаров мегузошт. Ҳадди мизмизҲадди мизГарови ҳадди ақал ва ҳадди аксари иҷозатдодашуда. Ҳадди аксар ҳамон чизест, ки прогрессияҳои дучандкуниро қатъ мекунад.Пурра хондан → он чизе нест, ки ба кори МартингейлстратегияМартингейлПрогрессия, ки пас аз ҳар бохт гаровро дучанд мекунад. Дар бахши «Стратегия» бинед, ки он чӣ мекунад ва чӣ намекунад.Пурра хондан → монеъ мешавад. Ҳисоб аст.
Ду мизи воқеӣ
Мисоли Торп мизи $1 бо ҳадди аксари $1 000 аст, ки дар он бозингар умед дорад доллар ба доллар $30 барои хӯроки шом бибарад. Гаровҳои 1, 2, 4 … 512 даҳ гаровро иҷозат медиҳанд, бинобар ин даҳ бохти пайдарпай прогрессияро мешиканад: як бор дар 785 давра дар чархи аврупоӣ (як бор дар 613 дар чархи амрикоӣ), бо арзиши $1 023. Ҳамаи сӣ давра дар 96,2% ҳолат муваффақ мешаванд. 3,8%-и боқимонда тақрибан $1 000 мебозанд ва натиҷаи миёнаи шом −$9,17 аст, ки айнан 1/37-и $339 аст, ки сӣ давра ба ҳисоби миёна гаров мегузоранд. Мизи $5 бо ҳадди аксари $2 000 ҳеҷ фарқ надорад: гаровҳо то $1 280 нӯҳ гаровро иҷозат медиҳанд ва шикаст як бор дар 403 давра дар чархи аврупоӣ (як бор дар 323 дар чархи амрикоӣ) меояд ва $2 555 арзиш дорад.
Бозингари сарватманд
Ба ҷои ҳадди паст ба прогрессия сармояи калон диҳед: 1 000 воҳид, гарови асосии як воҳид ва 1 000 гардиш ба сурх, ки ҳар вақт гарови дукаратаи навбатӣ аз боқимонда зиёд бошад, аз нав аз як воҳид оғоз мешавад. Мо як миллион чунин шомро моделсозӣ кардем. Дар чархи аврупоӣ 52% дар фоида анҷом меёбанд, 21% ҳама чизро мебозанд ва натиҷаи миёна −124 воҳид аст. Ҳатто дар бозии бе сифрчархСифрЯгона хонаи сабз, ки ҳеҷ гарови баробарпардохт, дувоздаҳӣ ё сутун онро фаро намегирад; манбаи бартарии казино. Инчунин: сифри ягона, 0.Пурра хондан →, ки ҳар гаров одилона аст, танҳо тақрибан 60% дар фоида анҷом меёфтанд. Шоми маъмулӣ бурди хурд аст; миёнаро шомҳое мепардозанд, ки бо сифр тамом мешаванд.
Сабақ
Казиноҳо ҳадҳоро барои маҳдуд кардани дисперсияиматематикаДисперсияЧенаки он ки натиҷаҳо дар атрофи арзиши интизорӣ то чӣ андоза пароканда мешаванд. Барои рақами ягона баланд, барои гаровҳои баробарпардохт паст.Пурра хондан → худ муқаррар мекунанд, на барои мағлуб кардани системаҳо. Мағлуб кардани Мартингейл таъсири паҳлӯист, ки онҳо аз он хушҳоланд, ва ҳисоб ба ҳар ҳол онро мағлуб мекард. Бозингаре, ки фикр мекунад мушкил дар ҳад аст, партгоҳро ёфтааст ва онро бо нишеб иштибоҳ кардааст.
Формула
Саволҳо
Он имкон медиҳад, ки то ҳадди баландтар тоб оред, ки дар он шикаст нодиртар ва калонтар аст. Зарари интизорӣ ба ҳар доллар тағйир намеёбад.
Гаровҳо 10, 30, 70, 150, 310: ҳадди $500 пас аз панҷ бохт расида мешавад ва шикаст $570 арзиш дорад. Ҳамон 2,70%.
То як бозингар натавонад бештар аз он гаров гузорад, ки захираи казино бемалол пардохта метавонад. Идоракунии дисперсия.
Математикаи шавқовар
Аввал худатон кӯшиш кунед. Ҳар ҳал пӯшида аст; вақте ки тайёр бошед, онро кушоед.
МартингейлстратегияМартингейлПрогрессия, ки пас аз ҳар бохт гаровро дучанд мекунад. Дар бахши «Стратегия» бинед, ки он чӣ мекунад ва чӣ намекунад.Пурра хондан → бо $100 ба сурхгаровСурхГарови баробарпардохт ба 18 рақами сурх. Бо фаронсавӣ: rouge.Пурра хондан → оғоз мекунад ва дар як давра ҳадди аксар n гаровро иҷозат медиҳад: пас аз n бохти пай дар пай даст мекашад ва аз нав оғоз мекунад. Натиҷаи миёнаи як давраро ҳамчун формула аз n нависед, ва онро барои 5, 6 ва 7 гаров дар чархи аврупоӣ ҳисоб кунед.
Ҳалро нишон додан
Ҷавоб Миёна 100 × (1 − (38/37)ⁿ) аст: −$14,26 барои 5 гаров, −$17,35 барои 6 ва −$20,52 барои 7. Иҷозат додани гаровҳои бештар давраи миёнаро бадтар мекунад, на беҳтар.
Давра $100 мебарад, магар ки ҳамаи n гаров бохт кунанд, ки бо эҳтимолияти qⁿ рух медиҳад, ки дар он q = 19/37. Вақте ки ҳама мебозанд, гаровҳои 100, 200 … 100 × 2ⁿ⁻¹ дар маҷмӯъ 100 × (2ⁿ − 1) мешаванд. Пас миёна 100 × (1 − qⁿ) − 100 × (2ⁿ − 1) × qⁿ = 100 × (1 − (2q)ⁿ) аст.
Дар ин ҷо 2q = 38/37, каме бештар аз 1, пас (2q)ⁿ бо n меафзояд ва миёна паст мешавад: барои n = 5 ин 1,1426 ва −$14,26 аст; барои n = 6, 1,1735 ва −$17,35; барои n = 7, 1,2052 ва −$20,52. Нардбони дарозтар камтар мебозад, дар 3,6%, 1,8% ва 0,9%-и давраҳо, вале ҳар бохт ду баробар калонтар аст, ва дар ҳар давра пули бештар аз миз мегузарад, бо 2,70%-и ҳар гаров.
Дар чархи амрикоӣ 2q = 40/38 ва рақамҳо −$29,24, −$36,04 ва −$43,20 мебошанд (Тейлор, 2021). Дар бозии бе сифрчархСифрЯгона хонаи сабз, ки ҳеҷ гарови баробарпардохт, дувоздаҳӣ ё сутун онро фаро намегирад; манбаи бартарии казино. Инчунин: сифри ягона, 0.Пурра хондан → 2q = 1, ва ҳар давра ба ҳисоби миёна маҳз сифр медиҳад, новобаста ба дарозии нардбон.
«Гранд Мартингейл» пас аз бохт гаровро дучанд мекунад ва як воҳидпулВоҳидГарови асосие, ки система ё бозингар бо он кор мекунад. Прогрессияҳо бо воҳидҳо тавсиф мешаванд, то дар ҳар миз татбиқ шаванд.Пурра хондан → илова мекунад, пас гаровҳо 1, 3, 7, 15, 31 … мешаванд. Вақте ки бурди аввал дар гарови 1-ум, 2-юм, 3-юм ё k-ум меояд, шумо чӣ қадар дар фоида ҳастед? Бо воҳиди $10 ва ҳадди аксари $500 давра чӣ қадар зуд мешиканад, ва як давра ба ҳисоби миёна чӣ қадар арзиш дорад?
Ҳалро нишон додан
Ҷавоб Бурд дар гарови k-ум шуморо k воҳид дар фоида мегузорад: +1, +2, +3 ва ғайра. Бо $10 ва $500 давра пас аз панҷ бохт мешиканад, дар 3,57%-и давраҳо, бо −$570. Ба ҳисоби миёна давра аз $85,73-и гузошташуда $2,32 аз даст медиҳад: 2,70%.
Гарови k-ум 2ᵏ − 1 воҳид аст: 1, 3, 7, 15, 31. Ҷамъи k − 1 гарови аввал 2ᵏ − 2 − (k − 1) = 2ᵏ − k − 1 аст. Бурд дар гарови k-ум 2ᵏ − 1 пардохт мекунад, пас давра бо (2ᵏ − 1) − (2ᵏ − k − 1) = k воҳид фоида тамом мешавад: як воҳиди иловагӣ барои ҳар бохт пеш аз бурд.
Бо $10 барои воҳид гаровҳо $10, $30, $70, $150 ва $310 мебошанд; навбатӣ, $630, аз ҳадди аксари $500 зиёд аст. Панҷ бохти пай дар пай, (19/37)⁵ = 3,57%, 10 + 30 + 70 + 150 + 310 = $570 арзиш доранд.
Миёна: бурдҳо бо эҳтимолияти (19/37)ᵏ⁻¹ × 18/37 барои k = 1 то 5 $10 × k меоранд, ва шикаст бо эҳтимолияти 3,57% $570 мегирад; якҷоя −$2,32. Пули гузошташуда дар як давра ба ҳисоби миёна $85,73 аст, ва 2,32/85,73 = 2,70%. Мартингейли оддӣ дар ҳамон миз пас аз шаш бохт мешиканад, дар 1,83%-и давраҳо, бо −$630, ва аз $64,20-и гузошташуда $1,74 аз даст медиҳад: боз 2,70%.
Бозингар нақша дорад, ки Мартингейлро ба сурх бо гарови аввали $1 дар мизе бозӣ кунад, ки ҳаддаш $1 000 аст, пас даҳ гаров имконпазир аст: $1, $2, $4 ва ғайра то $512. Давра чӣ қадар зуд ҳамаи даҳро мебозад, ин ба ҳисоби миёна чӣ қадар вақт мегирад, ва шоми 200 гаров чӣ қадар зуд ҳамин тавр анҷом меёбад?
Ҳалро нишон додан
Ҷавоб Давра тақрибан як бор дар 784 ҳамаи даҳро мебозад, ки $1 023 арзиш дорад. Ин ба ҳисоби миёна тақрибан 1 600 гаров аст, ва шоми 200 гаров тақрибан дар 11% ҳолатҳо ба девор мезанад. Давра ба ҳисоби миёна ҳанӯз аз $11,31-и гузошташуда $0,31 аз даст медиҳад: 2,70%.
Гаров ба сурх бо эҳтимолияти 19/37 мебозад, сифр низ дохил. Даҳ пай дар пай: (19/37)¹⁰ ≈ 0,00128, тақрибан 1 дар 784. Гаровҳои 1 + 2 + 4 + … + 512 дар маҷмӯъ $1 023 мешаванд.
Давра ба ҳисоби миёна 2,05 гаров мегирад, пас 784 давра тақрибан 1 600 гаров мегиранд. Агар гардиш ба гардиш ҳисоб кунем, силсилаи даҳ бохт дар ягон ҷои 200 гаров дар 11,3% ҳолатҳо пайдо мешавад.
Байни фалокатҳо бозингар дар ҳар давра $1 мебарад: тақрибан $783 пеш аз давраи бад, сипас −$1 023, тақрибан −$240 дар тамоми муддат. Дар як давра: 1 × (1 − 0,00128) − 1 023 × 0,00128 ≈ −$0,31. Пули гузошташуда дар як давра: 1 + 2 × (19/37) + 4 × (19/37)² + … + 512 × (19/37)⁹ ≈ $11,31. Ва −0,31/11,31 = −2,70%.
Гарови аввали $10-ро бо ҳадди $500, шаш гаров, муқоиса кунед: девор як бор дар 55 давра меояд, ва шоми 200 гаров дар 84% ҳолатҳо ба он мерасад. Ҳадди баландтар фалокатро нодиртар ва калонтар мекунад, на арзонтар.
Лаҳзаи ҳазл
Нодиртар ва калонтар, дар ҳар ҳад. Ҳосили зарб доимист.
Манбаъҳо
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.